वस्तूची गती (Motion of an Object)

जरएखादी वस्तू सभोवतालच्या संदर्भात तिची जागा बदलत असेल तर ती गतिमान आहे असे म्हणतात. जर ती सभोवतालच्या संदर्भात जागा बदलत नसेल तर ती स्थिर आहे असे म्हणतात.

विस्थापन आणि अंतर (Displacement and Distance)

अंतर म्हणजे दोन बिंदूंच्या दरम्यान गतिमान असताना वस्तूने प्रत्यक्ष केलेले मार्गक्रमण होय. तर विस्थापनम्हणजे गतिमानतेच्या आरंभ व अंतिम बिंदूंतील सर्वांत कमी अंतर होय.

चाल व वेग (Speed and Velocity)

एखाद्या वस्तूने एकक कालावधीत एकाच दिशेने कापलेल्या अंतरास वेग (Velocity) म्हणतात. या ठिकाणीएकक कालावधी म्हणजे एक सेकंद,एक मिनिट, एक तास इत्यादी असूशकतो. मोठ्या एककात कालावधी मोजल्यास एक वर्ष हा देखील एकक कालावधी असतो. एकक कालावधीत होणाऱ्या विस्थापनाला वेग म्हणतात.

मागील उदाहरण (पृष्ठ क्र.1) मध्ये शीतल व संगीता यांच्या घरांतील सरळ रेषेतील अंतर 500 मीटर आहे. संगीताचेघर व शाळा यातील सरळ रेषेतील अंतर 1200 मीटर आहे. अर्थात शीतलचेघर व शाळा यातील सरळ रेषेतील अंतर 1300 मीटर आहे. समजा शीतलला संगीताकडेजाण्यास 5 मिनिटेलागली व तेथून शाळेत जाण्यास 24 मिनिटेलागली, यावरून

चाल व दिशा यांचा वेगावर होणारा परिणाम

सचिन मोटारसायकलनेप्रवास करत आहेप्रवासादरम्यान खालील प्रसंगी काय घडेल तेसांगा. (आकृती 1.3 पहा)

1. सचिनने मोटारसायकलनेप्रवास करत असताना, मोटारसायकल प्रवासाची दिशा न बदलता मोटारसायकलची चाल वाढवल्यास अथवा कमी केल्यास वेगावर कोणता परिणाम होईल?
2. सचिन प्रवास करत असताना रस्त्यामध्ये एखादेवळण आल्यास चाल व वेग सारखाच असेल का? सचिननेमोटार सायकलची चाल स्थिर ठेवून दिशा बदलल्यास वेगावरती कोणता परिणाम होईल?
3. वळण रस्त्यावर मोटारसायकल चालवत असताना सचिनने मोटारसायकलची चाल व दिशा दोन्ही बदलल्यास वेगावर कोणता परिणाम होईल?

        वरील प्रसंगावरून असेलक्षात येतेकी, वेग हा चाल व दिशा या दोघांशी संबंधित आहेव वेग पुढील प्रकारेबदलतो.

1. चाल बदलून आणि दिशा तीच ठेवून
2. दिशा बदलून आणि चाल तीच ठेवून
3. चाल व गतीची दिशा दोन्हीही बदलू

एकरेषीय एकसमान व नैकसमान गती (Uniform and Nonuniform Motion along a straight line)

अमर, अकबर आणि अॅन्थनी त्यांच्या स्वत:च्या गाडीनेवेगवेगळ्या वेगानेप्रवास करत आहेत. त्यांनी वेगवेगळ्या कालावधीत कापलेली अंतरेखालील सारणीत दिली आहेत.

जर वस्तू समान कालावधीत समान अंतर कापत असेल तर तिच्या गतीला एकसमान गती म्हणतात.

त्वरण (Acceleration)

लहानपणी तुम्ही सर्वजण घसरगुंडी खेळला असाल. घसरगुंडीवरून घसरत असताना सुरुवातीस वेग कमी असतो, मध्ये तो वाढतो व शेवटी तो कमी होऊन शून्य होतो हेआपणास माहीत आहे. या वेगबदलातील दरालाच आपण त्वरण म्हणतो.

जर एखादी गतिमान वस्तू ठरावीक कालावधी दरम्यान वेग बदलत असेल तर त्या वस्तूच्या गतीला त्वरणीत गती असेम्हणतात. गतिमान वस्तूमध्ये दोन प्रकारचे त्वरण असूशकते.

1. जर समान कालावधीत वेगामध्ये समान बदल होत असतील तर एकसमान त्वरण होते.
2. जर समान कालावधीत वेगामध्ये असमान बदल होत असतील तर नैकसमान त्वरण होते.

धन , ऋण व शून्य त्वरण

 एखाद्या वस्तूचे त्वरण धन किंवा ऋण असूशकते. जेव्हा एखाद्या वस्तूचा वेग वाढतो तेव्हा त्वरण धन असते. येथे त्वरण वेगाच्या दिशेनेअसते. जेव्हा एखाद्या वस्तूचा वेग कमी होतो तेव्हा त्वरणऋण असते. ऋण त्वरणालाच ‘अवत्वरण’ किंवा ‘मंदन’ (Deceleration) असेम्हणतात. ते वेगाच्या दिशेच्या विरुद्ध दिशेने असते. वेग स्थिर असल्यास त्वरण शून्य असते.

एकसमान गतीसाठी अंतर – काल आलेख

 खालील सारणीत एका गाडी ने ठरावीक वेळे मध्ये कापलेली अंतरे दिलेली आहेत. त्यानुसार काल X अक्षावर व अंतर Y अक्षावर घेऊन आकृती 1.5 मध्ये आलेख काढा. अंतर व काल यांमधील समानुपाती संबंध आलेखाच्या साहाय्याने स्पष्ट होतो का?

एकसमान गतीमध्येवस्तू समान कालावधीत समान अंतर कापते. हे अंतर – काल आलेखामधील सरळ रेषा दर्शवते.

नैकसमान गतीसाठी अंतर – काल आलेख

खालील सारणीत एका बसने ठरावीक वेळेमध्येकापलेले अंतर दिलेले आहे. त्यानुसार काल X अक्षावर व अंतर Y अक्षावर घेऊन आकृती 1.6 मध्येआलेख काढा. अंतर व काल यांमधील समानुपाती संबंध आलेखाच्या साहाय्याने स्पष्ट होतो का?

येथे कालानुसार अंतरात नैकसमान बदल होतो. म्हणजेच इथे गती नैकसमान आहे.

एकसमान गतीकरिता वेग – काल आलेख

एक रेल्वे गाडी एकसमान वेगाने प्रती तास 60 किमी या प्रमाणे 5 तास सातत्याने गतिमान आहे. या एकसमान गतीकरिता वेग आणि काल यांच्यातील बदल वेग – काल आलेखाने आकृती 1.7 मध्ये दर्शवला आहे.

1. रेल्वेने 2 ते 4 तासांच्या दरम्यान कापलेले अंतर कसे काढता येईल?
2. 2 ते 4 तासांच्या दरम्यानरेल्वेगाडीने कापलेल्या अंतराचा वआकृतीतील एका चौकोनाच्या क्षेत्रफळाचा संबंध आहे का? इथे गाडीचे त्वरण किती आहे?

एकसमान त्वरणीत गतीकरिता वेग – काल आलेख

ठरावीक कालावधीनुसार एका कारच्या वेगात होणारे बदल सारणीत दिले आहेत.

आकृती 1.8 मधील आलेख दर्शवतो की,

1. ठरावीक कालावधीत वेगामध्येसमान बदल होतो. हा वेग त्वरणीत असून त्वरण एकसमान आहे. प्रत्येक 5 मिनिटात वेगात किती बदल होतो?
2. सर्व एकसमान त्वरणीत गतीसाठी वेग-काल आलेख हा सरळ रेषा असतो.
3. नैकसमान त्वरणीत गतीसाठी वेग – काल आलेख वेळेनुसार त्वरणात होणाऱ्या बदलानुसार कोणत्याही आकाराचा असूशकतो.

आकृती 1.8 मधील आलेखाच्या साहाय्याने कारने 10 सेकंद ते 20 सेकंद या कालावधी दरम्यान कापलेले अंतर आपण मागील रेल्वेगाडीच्या उदाहरणाप्रमाणेच काढूशकतो, मात्र या ठिकाणी कारचा वेग हा स्थिर नसून एकसमान त्वरणामुळे सतत बदलतो आहे. अशा वेळी आपण दिलेल्या कालावधी दरम्यान कारचा सरासरी वेग वापरून कारने कापलेले अंतर काढू शकतो.

याला दिलेल्या कालावधीने म्हणजेच 10 सेकंदानी गुणल्यास कारने पार केलेले अंतर मिळेल.
अंतर = 24 मीटर/सेकंद × 10 सेकंद = 240 मीटर
मागील उदाहरणाप्रमाणे कारने कापलेले अंतर चौकोन ABCD च्या क्षेत्रफळाएवढे असेल याची पडताळणी करून पहा.

आलेख पद्धतीने गतीविषयक समीकरणे (Equations of Motion using graphical method)

न्यूटनने वस्तूच्या गतीचा अभ्यास केला आणि नंतर गतीविषयक तीन समीकरणांचा संच मांडला.एका रेषेत गतिमान वस्तूचे विस्थापन, वेग, त्वरण व काल यातील संबंध या समीकरणांत मांडला आहे.

एक वस्तू सुरुवातीला ‘u’ वेगानेसरळ रेषेत गतिमान आहे. ‘t’ वेळेत ‘a’ त्वरणामुळेती अंतिम वेग ‘v’ गाठतेव तिचे विस्थापन ‘s’ असते. तर तीन समीकरणांचा संच असा देता येईल की,

वेग – काल संबंधाचे समीकरण

एकसमान त्वरणीत वेगानेगतिमान असलेल्या वस्तूच्या वेगातील कालानुसार होणारा बदल आकृती 1.9 मध्ये आलेखाच्या साहाय्यानेदर्शवला आहे. वस्तू आलेखातील D या बिंदूपासून गतिमान होते. वेळेनुसार वस्तूचा वेग वाढत जातो व t या कालावधीनंतर वस्तू आलेखातील B ह्या बिंदूपर्यंत पोहोचते.

वस्तूचा सुरुवातीचा वेग = u = OD
वस्तूचा अंतिम वेग = v = OC
कालावधी = t = OE

विस्थापन – काल संबंधाचे समीकरण

समजा, एखाद्या वस्तूनेएकसमान त्वरण ‘a’ नुसार ‘t’ कालावधीत ‘s’ अंतर कापलेआहे. आकृती 1.9 मधील आलेखावरून, वस्तूनेकापलेलेअंतर चौकोन DOEB च्या क्षेत्रफळानेकाढता येईल.

विस्थापन – वेग संबंधाचे समीकरण

आकृती 1.9 मधील आलेखावरून, वस्तूने कापलेले अंतर चौकोन DOEB च्या क्षेत्रफळाने काढता येते हे आपण पाहिले आहे. परंतु चौकोन DOEB हा समलंब चौकोन आहे. म्हणून समलंब चौकोनाच्या सूत्राचा वापर करून वस्तूने कापलेले अंतर काढू.

एकसमान वर्तुळाकार गती (Uniform Circular Motion)

घड्याळाच्या काट्याच्या टोकाची चाल सतत स्थिर असते.परंतुत्याची विस्थापनाची दिशा सतत बदलत असल्याने त्याचा वेगही सतत बदलत असतो. सेकंदकाट्याचे टोक वर्तुळाकार मार्गाने फिरत असल्याने या गतीला एकसमान वर्तुळाकार गती असे म्हणतात. अशा प्रकारच्या गतीची आणखी कोणती उदाहरणे तुम्हाला देता येतील?.

जेव्हा वस्तू स्थिर चालीनेवर्तुळाकार मार्गानेगतिमान होते तेव्हा वेगामध्ये होणारा बदल फक्त गतीची दिशा बदलल्यानेहोतो. त्यामुळेतो त्वरणीत वेग असतो. जेव्हा एखादी वस्तू एकसमान चालीसह वर्तुळाकार मार्गानेजाते तेव्हा त्या गतीला एकसमान वर्तुळाकार गती म्हणतात. उदाहरणार्थ, एकसमान चालीने फिरणाऱ्या गोफणीतील दगडाची गती, सायकलच्या चाकावरील कुठल्याही बिंदूची गती.

एकसमान वर्तुळाकार वेगाची दिशा काढणे

चकती जास्त वेगाने फिरवल्यास नाणे कोणत्या दिशेनेफेकलेजातेयाचे निरीक्षण करा. चकतीवर नाणेवेगवेगळ्या ठिकाणी ठेवून ही कृती पुन्हा पुन्हा करा आणि प्रत्येक वेळी नाणेकोणत्या दिशेनेफेकलेजातेयाचे निरीक्षण करा.

नाणेवर्तुळाकार चकतीच्या त्रिज्येला लंब असणाऱ्या स्पर्शिकेच्या दिशेनेजाईल. नाणेफेकलेजाण्याच्या क्षणी ज्या स्थितीत असेल त्यानुसार ते विशिष्ट दिशेला फेकलेजाईल. म्हणजेच नाणेवर्तुळाकार दिशेने फिरत असताना गतीची दिशा प्रत्येक बिंदूपाशी बदलते.

सोडवलेली उदाहरणे

उदाहरण 1 :एक खेळाडूवर्तुळाकार मार्गावरून धावताना 25 सेकंदांत 400 मीटर अंतर धावूनपुन्हा सुरुवातीच्या ठिकाणी परततो. त्याची सरासरी चाल व सरासरी वेग किती असेल?
दिलेले : पार केलेलेएकूण अंतर = 400 मी.
एकूण विस्थापन = 0 मीटर (तो पुन्हा सुरुवातीच्या ठिकाणी येत असल्याने)
एकूण लागलेला वेळ = 25 सेकंद
सरासरी चाल = ?, सरासरी वेग = ?

न्यूटनचे गतीविषयक नियम (Newton’s Laws of Motion)

असे का होत असेल?

1. स्थिर अवस्थेत असलेली वस्तू बल लावल्याशिवाय जागची हलत नाही.
2. टेबलावर ठेवलेलेपुस्तक उचलण्यासाठी पुरेसेअसलेल्या बलानेटेबल उचलता येत नाही.
3. फांदी हलवल्यानंतर झाडावरून फळ खाली पडते.
4. विजेचा फिरणारा पंखा बंद केल्यानंतरही पूर्ण थांबण्यापूर्वी तो काही वेळ फिरत राहतो.

वरील घटनांच्या कारणांचा शोध घेतल्यास वस्तूमध्ये जडत्व असतेहेआपल्या लक्षात येते. वस्तूचेजडत्व हे वस्तूच्या वस्तुमानाशी निगडीत आहेहेतुम्ही शिकला आहात. न्यूटनच्या गतीविषयक पहिल्या नियमात पदार्थाच्या याच गुणधर्माचेवर्णन केलेआहेम्हणून त्याला ‘जडत्वाचा नियम’ असेही म्हणतात.

न्यूटनचा गतीविषयक पहिला नियम (Newton’s first Law of Motion)

संतुलित बल व असंतुलित बल (Balanced and Unbalanced Force)

रस्सीखेच हा खेळ तुम्ही खेळला असाल. जोपर्यंत दोन्ही बाजूंनी प्रयुक्त बल सारखेअसतेतोपर्यंत रस्सीचा मध्य स्थिर असतो. इथेदोन्ही बाजूंना लावलेलेबल समान असल्यानेअर्थात बले‘संतुलित’ असल्यानेबल प्रयुक्त केलेले असूनही रस्सीचा मध्य स्थिर असतो. परंतुज्यावेळी एका बाजूनेप्रयुक्त केलेलेबल वाढते, त्या वेळी प्रयुक्त बले ‘असंतुलित’ होतात व परिणामी बल अधिक बलाच्या बाजूला प्रयुक्त होतेव रस्सीचा मध्य त्या दिशेला सरकतो.

‘जर एखाद्या वस्तूवर कोणतेही बाह्य असंतुलित बल कार्यरत नसेल तर तिच्या विराम अवस्थेत किंवा सरळ रेषेतील एकसमान गतीमध्ये सातत्य राहते.’

एखादी वस्तू विराम अवस्थेत किंवा सरळ रेषेतील एकसमान गतीमध्ये असतेतेव्हा तिच्यावर कोणतेही बल कार्य करत नसतेअसेनाही. प्रत्यक्षात त्या वस्तूवर विविध बाह्य बलेकार्य करतात;परंतुतीपरस्परांना निष्प्रभ करीत असल्याने एकंदर परिणामी बल शून्य होते. न्यूटनच्या पहिल्या नियमानेजडत्वाचेम्हणजेच वस्तूच्या गतीविषयक अवस्था स्वत:हून न बदलण्याचेस्पष्टीकरण दिलेजाते. त्याचप्रमाणेवस्तूच्या विराम अवस्थेत किंवा वस्तूच्या सरळ रेषेतील एकसमान गतीत बदल घडवून आणणाऱ्या किंवा बदलास प्रवृत्त करणाऱ्या असंतुलित बलाचेस्पष्टीकरण दिलेजाते. जडत्वाची सर्व उदाहरणेन्यूटनच्या गतीविषयक पहिल्या नियमाची उदाहरणेआहेत.

न्यूटनचा गतीविषयक दुसरा नियम (Newton’s second Law of Motion)

एखाद्या वस्तूने दुसऱ्या वस्तूवर केलेल्या आघाताचा परिणाम हा त्या वस्तूचे वस्तुमान व तिचा वेग या दोन्हींवर अवलंबून असतो. म्हणजे बलाचा परिणाम घडवून आणण्यासाठी वस्तूचे वस्तुमान व वेग यांना एकत्र जोडणारा गुणधर्म कारणीभूत असतो. या गुणधर्मालाच न्यूटनने ‘संवेग’ असे संबोधले.

संवेग (Momentum) (P) : वस्तूचा वेग व वस्तुमान यांचा गुणाकार म्हणजे संवेग.
P = mv संवेग ही सदीश राशी आहे.

‘संवेग परिवर्तनाचा दर प्रयुक्त बलाशी समानुपाती असतो आणि संवेगाचे परिवर्तन बलाच्या दिशेने होते.’
समजा, m वस्तुमान असणारी एक वस्तू सुरुवातीला ‘u’ वेगाने जात असताना तिच्या गतीच्या दिशेने F इतके बल प्रयुक्त केल्यास t इतक्या वेळेनंतर वस्तूचा वेग v होतो.
वस्तूचा सुरुवातीचा संवेग = mu ,
t इतक्या कालावधीनंतर वस्तूचा अंतिम संवेग = mv

सुरुवातीस विराम अवस्थेत असणाऱ्या दोन वेगवगळ्या वस्तुमानांच्या वस्तू विचारात घ्या. दोन्हींचा सुरुवातीचा संवेग शून्य असेल. समजा दोन्ही वस्तूंवर विशिष्ट कालावधी (t) साठी ठरावीक बल (F) प्रयुक्त केलेतर हलकी वस्तू जड वस्तूपेक्षा अधिक वेगानेजाऊ लागते. परंतुवरील सूत्रावरून लक्षात येतेकी, दोन्ही वस्तूंमध्ये होणाऱ्या संवेगातील परिवर्तनाचा दर मात्र समान म्हणजेF असेल व त्यातील होणारा बदलही (Ft) समान असेल. म्हणून वेगवेगळ्या वस्तूवर समान कालावधीत समान बल प्रयुक्तकेल्यास संवेगातील बदल समानअसतो.

न्यूटनचा गतीविषयक तिसरा नियम (Newton’s third law of Motion)

न्यूटनच्या गतीविषयक पहिल्या दोन नियमांमधून बल आणि बलाचेपरिणाम यांची माहिती मिळते.

‘परंतु निसर्गात बल एकांगी असूच शकत नाही’. बल ही दोन वस्तूंमधील अन्योन्य क्रिया आहे. बलेनेहमी जोडीनेच प्रयुक्त होत असतात. ज्यावेळी एक वस्तू दुसऱ्या वस्तूवर बल प्रयुक्त करते त्याच वेळी दुसरी वस्तूही पहिल्या वस्तूवर बल प्रयुक्त करते. दोन वस्तूमधील बलेनेहमी समान व विरुद्ध असतात. ही कल्पना न्यूटनच्या गतीविषयक तिसऱ्या नियमात मांडली आहे.पहिल्या वस्तूनेदुसऱ्या वस्तूवर प्रयुक्त केलेल्या बलास क्रिया बल तर दुसऱ्या वस्तूनेपहिल्या वस्तूवर प्रयुक्त केलेल्या बलास प्रतिक्रिया बल म्हणतात.

‘प्रत्येक क्रिया बलास समान परिमाणाचे त्याच वेळी प्रयुक्त होणारे प्रतिक्रिया बल अस्तित्वात असते व त्यांच्या दिशा परस्पर विरुद्ध असतात.’

संवेग अक्षय्यतेचा सिद्धांत (Law of Conservation of Momentum)

एकूण अंतिम संवेगाचे परिमाण = एकूण सुरुवातीच्या संवेगाचे परिमाण

म्हणून जर दोन वस्तूंवर बाह्य बल कार्य करत नसेल तर त्यांचा सुरुवातीचा एकूण संवेग व अंतिम एकूण संवेग सारखाच असतो. वस्तूंची संख्या कितीही असली तरी त्यासाठी हे विधान सत्य असते.

‘दोन वस्तूंची परस्पर क्रिया होत असताना त्यांच्यावर जर काही बाह्य बल कार्यरत नसेल तर त्यांचा एकूण संवेग स्थिर राहतो. तो बदलत नाही.’

हा न्यूटनच्या गतीविषयक तिसऱ्या नियमाचा उपसिद्धांत आहे. टक्कर झाल्यानंतरही संवेग स्थिर असतो. टक्कर झालेल्या वस्तूंमध्ये संवेग पुनर्वितरित होतो. एका वस्तूचा संवेग कमी होतो तर दुसऱ्या वस्तूचा संवेग वाढलेला असतो. त्यामुळेहा सिद्धांत पुढीलप्रमाणेदेखील सांगता येतो.

जर दोन वस्तूंची टक्कर झाली तर त्यांचा आघातापूर्वीचा एकूण संवेग हा त्यांच्या आघातानंतरच्या एकूण संवेगाइतकाच असतो.

हा सिद्धांत समजण्यासाठी बंदुकीतून मारलेल्या गोळीचेउदाहरण विचारात घेऊया. जेव्हा m 1 वस्तुमानाची गोळी m 2 वस्तुमानाच्या बंदुकीतून मारली जाते, तेव्हा वेगानेपुढेजाताना तिचा संवेग m 1 v 1 होतो. गोळी उडवण्यापूर्वी बंदूक आणि गोळी स्थिर असल्यानेसुरुवातीचा संवेग शून्य असतो व एकूण संवेग शून्य असतो. गोळी उडविल्यानंतरदेखील वरील नियमाप्रमाणेएकूण संवेग शून्य असतो. अर्थात गोळीच्या पुढेजाण्यामुळे बंदूक मागच्या दिशेनेसरकते. या सरकण्याला ‘प्रतिक्षेप’ (Recoil) म्हणतात.

 

सोडवलेली उदाहरणे